<PRE><B>Question 1209847</B>
Absolutely, let&#39;s break down this problem step-by-step.

**Given Information:**

1.  log&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;(w) = 24
2.  log&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;(yx) = 40
3.  log&lt;sub&gt;xy²&lt;/sub&gt;(zw) = 12
4.  x, y, z &gt; 1
5.  w &gt; 0

**Goal:** Find log&lt;sub&gt;z&lt;/sub&gt;(w)

**Step 1: Simplify log&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;(yx)**

* log&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;(yx) = log&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;(y) + log&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;(x) = 40
* log&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;(y) + 1 = 40
* log&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;(y) = 39

**Step 2: Express w and y in terms of x**

* From log&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;(w) = 24, we get w = x&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt;
* From log&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;(y) = 39, we get y = x&lt;sup&gt;39&lt;/sup&gt;

**Step 3: Simplify log&lt;sub&gt;xy²&lt;/sub&gt;(zw)**

* log&lt;sub&gt;xy²&lt;/sub&gt;(zw) = 12
* zw = (xy²)&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;
* zw = x&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;(y²)&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;
* zw = x&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;y&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt;

**Step 4: Substitute y and w in terms of x**

* z(x&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt;) = x&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;(x&lt;sup&gt;39&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt;
* z(x&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt;) = x&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;x&lt;sup&gt;936&lt;/sup&gt;
* z(x&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt;) = x&lt;sup&gt;948&lt;/sup&gt;
* z = x&lt;sup&gt;948&lt;/sup&gt; / x&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt;
* z = x&lt;sup&gt;924&lt;/sup&gt;

**Step 5: Find log&lt;sub&gt;z&lt;/sub&gt;(w)**

* log&lt;sub&gt;z&lt;/sub&gt;(w) = log&lt;sub&gt;x&lt;sup&gt;924&lt;/sup&gt;&lt;/sub&gt;(x&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt;)
* Using the property log&lt;sub&gt;a&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt;&lt;/sub&gt;(c&lt;sup&gt;d&lt;/sup&gt;) = (d/b)log&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt;(c), we get:
* log&lt;sub&gt;z&lt;/sub&gt;(w) = (24/924)log&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;(x)
* log&lt;sub&gt;z&lt;/sub&gt;(w) = 24/924
* Simplify the fraction: 24 / 924 = 2 / 77

**Therefore, log&lt;sub&gt;z&lt;/sub&gt;(w) = 2/77**
</PRE>