Question 1133146
{{{y=(15e^(-x))/(x+e^(-2x))}}}

{{{y=(15(1/e^x))/(x+1/e^(2x))}}}

{{{y=(15/e^x)/((x*e^(2x)+1)/e^(2x))}}}

{{{y=(15e^(2x))/(x*e^x*(e^(2x)+1))}}}

{{{y=(15e^x)/((x*e^(2x)+1))}}}


Solve {{{dy/dx }}}


{{{(dy/dx)((15e^x)/(x*e^(2 x) + 1))}}} = > first take the constant out


{{{(dy/dx)((15e^x)/(x*e^(2 x) + 1))=15(dy/dx)((15e^x)/(x*e^(2 x) + 1))}}}

Apply the Quotient Rule: {{{f/g}}}'=({{{f}}}'*{{{g}}}-{{{g}}}'*{{{ f}}})/{{{g^2}}}


{{{(dy/dx)((15e^x)/(x*e^(2 x) + 1))=15*(dy/dx)(e^x*(xe^(2x)+1)-(d/dx)(x*e^(2x)+1)e^x)/(x*e^(2x)+1)^2}}}


Apply the common derivative:

{{{(d/dx)e^x=e^x}}}


{{{(d/dx)(xe^(2x)+1)=e^(2x)+2e^(2x)*x}}}


{{{(dy/dx)((15 e^x)/(x*e^(2 x) + 1))=15(e^x*(x*e^(2x)+1))-(e^(2x)+2e^(2x)*x)e^x)/((x*e^(2x)+1)^2}}}



simplify: {{{((15(e^x*(x*e^(2x)+1))-((e^(2x)+2e^(2x)*x)e^x))/((x*e^(2x)+1)^2) )/( 15(e^x-e^(3x)*x-e^(3x))/(e^(2x)*x+1)^2)}}}

  
 {{{(dy/dx)((15 e^x)/(x *e^(2 x) + 1))= 15(e^x*(x*e^(2x)+1)-(e^(2x)+2e^(2x)*x)e^x)/(x*e^(2x)+1)^2}}}

since {{{(e^x*(x*e^(2x)+1)-(e^(2x)+2e^(2x)*x)e^x)/(x*e^(2x)+1)^2=(e^x-e^(3x)*x-e^(3x))/(e^(2x)*x+1)^2}}}

we have

{{{(dy/dx)((15 e^x)/(x e^(2 x) + 1))= 15(e^x-e^(3x)*x-e^(3x))/(e^(2x)*x+1)^2}}}