<PRE><B>Question 864447</B>
&lt;pre&gt;
We will use the fact that the minimal operator 
&#39;min&#39; is associative, that is,

min(x,min(y,z)) = min(min(x,y),z)

which is easy to prove since both sides can only be the 
minimal of the three numbers x, y and z.

Suppose the prime factorizations of a, b and c are

a = &lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;&lt;sup&gt;a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;&lt;sup&gt;a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;ЗЗЗ&lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;&lt;sup&gt;a&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;

b = &lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;&lt;sup&gt;b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;&lt;sup&gt;b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;ЗЗЗ&lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;&lt;sup&gt;b&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;

c = &lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;&lt;sup&gt;g&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;&lt;sup&gt;g&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;ЗЗЗ&lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;&lt;sup&gt;g&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;

Then

gcd(b,c) = &lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;sup&gt;min(&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,g&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;)&lt;/sup&gt;&lt;font size=2&gt;&lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;sup&gt;min(&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,g&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;)&lt;/sup&gt;&lt;font size=2&gt;ЗЗЗ&lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;sup&gt;min(&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;b&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;,g&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;)&lt;/sup&gt;&lt;font size=2&gt;

gcd(a,b) = &lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;sup&gt;min(&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;)&lt;/sup&gt;&lt;font size=2&gt;&lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;sup&gt;min(&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;)&lt;/sup&gt;&lt;font size=2&gt;ЗЗЗ&lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;sup&gt;min(&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;a&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;,b&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;)&lt;/sup&gt;&lt;font size=2&gt;

gcd(a,gcd(b,c)) = &lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;sup&gt;min(&lt;font face=&quot;symbol&quot;&gt;a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;,min(&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,g&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;))&lt;/sup&gt;&lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;sup&gt;min(&lt;font face=&quot;symbol&quot;&gt;a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;,min(&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,g&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;))&lt;/sup&gt;ЗЗЗ&lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;sup&gt;min(&lt;font face=&quot;symbol&quot;&gt;a&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;,min(&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;b&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;,g&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;))&lt;/sup&gt;

Now since the minimal operator &#39;min&#39; is associative, 
the above is equal to

&lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;sup&gt;min(min(&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;),&lt;font face=&quot;symbol&quot;&gt;g&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;)&lt;/sup&gt;&lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;sup&gt;min(min(&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;a&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,b&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;),&lt;font face=&quot;symbol&quot;&gt;g&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;)&lt;/sup&gt;ЗЗЗ&lt;font size=2&gt;p&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;&lt;sup&gt;min(min(&lt;font size=2 face=&quot;symbol&quot;&gt;a&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;,b&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;),&lt;font face=&quot;symbol&quot;&gt;g&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;&lt;/font&gt;)&lt;/sup&gt;

which is equal to

gcd(gcd(a,b),c)

and the associativity of gcd is proved.

Edwin&lt;/pre&gt;</PRE>