<PRE><B>Question 811879</B>
The first,third and fifth terms of a geometric sequence form arithmetic sequence.If the first term of the sequence is 3,find the tenth term of the geometric sequence.
&lt;pre&gt;
The 10 terms are

3, 3r, 3r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;

3, 3r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, and 3r&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; form an arithmetic progression.

3+d = 3r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;,
3r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+d = 3r&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;

Solve the first for d

d = 3r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-3

Substitute in the second equation

3r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-3 = 3r&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;

6r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-3 = 3r&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;

0 = 3r&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;-6r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3

0 = r&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;-2r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+1

0 = (r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-1)(r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+1)

0 = r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-1 = 0;  r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+1 = 0
      r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1;    r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = -1
       r = ą1;    r = ąi (imaginary so discard)

d = 3r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-3 = 3(ą1)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-3 = 3(1)-3 = 3-3 = 0

So for r=+1, the sequence is

3, 3r, 3r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt; is

3, 3(1), 3(1)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, 3(1)&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;, 3(1)&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;, 3(1)&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt;, 3(1)&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;, 3(1)&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt;, 3(1)&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;, 3(1)&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;

3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3

So the 10th term is 3

And for r=-1, the squence is

3, 3r, 3r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;, 3r&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;

3, 3(-1), 3(-1)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, 3(-1)&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;, 3(-1)&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;, 3(-1)&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt;, 3(-1)&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;, 3(-1)&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt;, 3(-1)&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;, 3(-1)&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;

3, -3, 3, -3, -3, 3, 3, -3, 3, -3

The 10th term is -3

Two solutions, the 10th term is either 3 or -3.

Edwin&lt;/pre&gt;
</PRE>