<PRE><B>Question 714299</B>


Looking at the expression {{{16z^2-54z+35}}}, we can see that the first coefficient is {{{16}}}, the second coefficient is {{{-54}}}, and the last term is {{{35}}}.



Now multiply the first coefficient {{{16}}} by the last term {{{35}}} to get {{{(16)(35)=560}}}.



Now the question is: what two whole numbers multiply to {{{560}}} (the previous product) &lt;font size=4&gt;&lt;b&gt;and&lt;/b&gt;&lt;/font&gt; add to the second coefficient {{{-54}}}?



To find these two numbers, we need to list &lt;font size=4&gt;&lt;b&gt;all&lt;/b&gt;&lt;/font&gt; of the factors of {{{560}}} (the previous product).



Factors of {{{560}}}:

1,2,4,5,7,8,10,14,16,20,28,35,40,56,70,80,112,140,280,560

-1,-2,-4,-5,-7,-8,-10,-14,-16,-20,-28,-35,-40,-56,-70,-80,-112,-140,-280,-560



Note: list the negative of each factor. This will allow us to find all possible combinations.



These factors pair up and multiply to {{{560}}}.

1*560 = 560
2*280 = 560
4*140 = 560
5*112 = 560
7*80 = 560
8*70 = 560
10*56 = 560
14*40 = 560
16*35 = 560
20*28 = 560
(-1)*(-560) = 560
(-2)*(-280) = 560
(-4)*(-140) = 560
(-5)*(-112) = 560
(-7)*(-80) = 560
(-8)*(-70) = 560
(-10)*(-56) = 560
(-14)*(-40) = 560
(-16)*(-35) = 560
(-20)*(-28) = 560


Now let&#39;s add up each pair of factors to see if one pair adds to the middle coefficient {{{-54}}}:



&lt;table border=&quot;1&quot;&gt;&lt;th&gt;First Number&lt;/th&gt;&lt;th&gt;Second Number&lt;/th&gt;&lt;th&gt;Sum&lt;/th&gt;&lt;tr&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;1&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;560&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;1+560=561&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;2&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;280&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;2+280=282&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;4&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;140&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;4+140=144&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;5&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;112&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;5+112=117&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;7&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;80&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;7+80=87&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;8&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;70&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;8+70=78&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;10&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;56&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;10+56=66&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;14&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;40&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;14+40=54&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;16&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;35&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;16+35=51&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;20&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;28&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;20+28=48&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-1&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-560&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-1+(-560)=-561&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-2&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-280&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-2+(-280)=-282&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-4&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-140&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-4+(-140)=-144&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-5&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-112&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-5+(-112)=-117&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-7&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-80&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-7+(-80)=-87&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-8&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-70&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-8+(-70)=-78&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-10&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-56&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-10+(-56)=-66&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=red&gt;-14&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=red&gt;-40&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=red&gt;-14+(-40)=-54&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-16&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-35&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-16+(-35)=-51&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-20&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-28&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;td  align=&quot;center&quot;&gt;&lt;font color=black&gt;-20+(-28)=-48&lt;/font&gt;&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;/table&gt;



From the table, we can see that the two numbers {{{-14}}} and {{{-40}}} add to {{{-54}}} (the middle coefficient).



So the two numbers {{{-14}}} and {{{-40}}} both multiply to {{{560}}} &lt;font size=4&gt;&lt;b&gt;and&lt;/b&gt;&lt;/font&gt; add to {{{-54}}}



Now replace the middle term {{{-54z}}} with {{{-14z-40z}}}. Remember, {{{-14}}} and {{{-40}}} add to {{{-54}}}. So this shows us that {{{-14z-40z=-54z}}}.



{{{16z^2+highlight(-14z-40z)+35}}} Replace the second term {{{-54z}}} with {{{-14z-40z}}}.



{{{(16z^2-14z)+(-40z+35)}}} Group the terms into two pairs.



{{{2z(8z-7)+(-40z+35)}}} Factor out the GCF {{{2z}}} from the first group.



{{{2z(8z-7)-5(8z-7)}}} Factor out {{{5}}} from the second group. The goal of this step is to make the terms in the second parenthesis equal to the terms in the first parenthesis.



{{{(2z-5)(8z-7)}}} Combine like terms. Or factor out the common term {{{8z-7}}}



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Answer:



So {{{16z^2-54z+35}}} factors to {{{(2z-5)(8z-7)}}}.



In other words, {{{16z^2-54z+35=(2z-5)(8z-7)}}}.



Note: you can check the answer by expanding {{{(2z-5)(8z-7)}}} to get {{{16z^2-54z+35}}} or by graphing the original expression and the answer (the two graphs should be identical).
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