Question 1178824: 38. La cantidad media de abarrotes que compra cada cliente en Churchill Grocery Store es de
$23.50, con una desviación estándar de $5.00. Suponga que la distribución de cantidades
compradas sigue la distribución normal. En el caso de una muestra de 50 clientes, conteste
las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea de por lo menos $25.00?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea superior a $22.50 e inferior a
$25.00?
c) ¿Dentro de qué límites se presentará 90% de las medias muestrales?
Answer by CPhill(1959)   (Show Source):
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**1. Definir los Parámetros:**
* Media poblacional (μ): $23.50
* Desviación estándar poblacional (σ): $5.00
* Tamaño de la muestra (n): 50 clientes
**2. Calcular el Error Estándar de la Media (SEM):**
* SEM = σ / √n
* SEM = $5.00 / √50
* SEM ≈ $0.7071
**a) Probabilidad de que la media de la muestra sea de por lo menos $25.00:**
1. **Calcular el puntaje z:**
* z = (x̄ - μ) / SEM
* z = ($25.00 - $23.50) / $0.7071
* z ≈ 2.12
2. **Encontrar la probabilidad usando la tabla z o una calculadora:**
* P(z ≥ 2.12) ≈ 0.0170
* Por lo tanto, la probabilidad de que la media de la muestra sea de por lo menos $25.00 es aproximadamente 0.0170 o 1.70%.
**b) Probabilidad de que la media de la muestra sea superior a $22.50 e inferior a $25.00:**
1. **Calcular el puntaje z para $22.50:**
* z = ($22.50 - $23.50) / $0.7071
* z ≈ -1.41
2. **Calcular el puntaje z para $25.00 (ya calculado en a):**
* z ≈ 2.12
3. **Encontrar la probabilidad usando la tabla z o una calculadora:**
* P(-1.41 < z < 2.12) = P(z < 2.12) - P(z < -1.41)
* P(z < 2.12) ≈ 0.9830
* P(z < -1.41) ≈ 0.0793
* P(-1.41 < z < 2.12) ≈ 0.9830 - 0.0793 ≈ 0.9037
* Por lo tanto, la probabilidad de que la media de la muestra esté entre $22.50 y $25.00 es aproximadamente 0.9037 o 90.37%.
**c) Límites para el 90% de las medias muestrales:**
1. **Encontrar los puntajes z para el 90% de confianza:**
* El 90% de confianza significa que el 5% está en cada cola de la distribución normal.
* Usando la tabla z o una calculadora, los puntajes z correspondientes son aproximadamente ±1.645.
2. **Calcular los límites usando la fórmula:**
* Límite inferior: x̄ = μ + (z * SEM)
* Límite inferior: x̄ = $23.50 + (-1.645 * $0.7071) ≈ $22.33
* Límite superior: x̄ = μ + (z * SEM)
* Límite superior: x̄ = $23.50 + (1.645 * $0.7071) ≈ $24.67
* Por lo tanto, el 90% de las medias muestrales estarán dentro de los límites de aproximadamente $22.33 y $24.67.
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